Courtesy of QuantaMagazine

Matematikawan Ungkap Batas Ketidakputusan dalam Persamaan Diophantine Modern

03 Feb 2025, 07.00 WIB

104 dibaca

Dalam dunia matematika, terdapat banyak masalah yang tidak dapat diselesaikan. Salah satu masalah terkenal adalah yang diajukan oleh matematikawan David Hilbert pada tahun 1900, yaitu 23 masalah yang diharapkan dapat memandu penelitian matematika selama satu abad. Salah satu dari masalah tersebut, yang dikenal sebagai Masalah Ke-10 Hilbert, berfokus pada persamaan Diophantine, yaitu persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Hilbert ingin mengetahui apakah selalu mungkin untuk menentukan apakah persamaan Diophantine memiliki solusi bilangan bulat. Namun, pada tahun 1970, matematikawan Yuri Matiyasevich membuktikan bahwa tidak ada algoritma umum yang dapat menyelesaikan masalah ini, sehingga Masalah Ke-10 Hilbert menjadi masalah yang tidak dapat diputuskan.

Baru-baru ini, dua tim matematikawan, Peter Koymans dan Carlo Pagano, serta tim lainnya, berhasil membuktikan bahwa Masalah Ke-10 Hilbert tetap tidak dapat diputuskan bahkan ketika diperluas ke sistem bilangan lain yang lebih kompleks. Mereka menggunakan konsep kurva eliptik untuk menunjukkan bahwa tidak ada algoritma yang dapat menentukan solusi untuk semua persamaan Diophantine dalam sistem bilangan tersebut. Penemuan ini menunjukkan batasan dalam pengetahuan matematika dan mengingatkan kita bahwa ada hal-hal yang tidak dapat diketahui, terlepas dari seberapa pintar kita.

Referensi:
[1] https://www.quantamagazine.org/new-proofs-probe-the-limits-of-mathematical-truth-20250203/

Analisis Kami

"Penemuan kurva eliptik yang mampu memperluas ketidakputusan Hilbert ke-10 ke seluruh cincin bilangan bulat menandai tonggak penting yang mengungkapkan kompleksitas fundamental dalam matematika yang sebelumnya terabaikan. Ini menunjukkan bahwa batas pengetahuan matematis tidak hanya hadir dalam bilangan bulat biasa, tapi juga dalam struktur bilangan yang jauh lebih luas, sehingga menantang paradigma lama tentang apa yang bisa dibuktikan secara sistematis."

Analisis Ahli

Andrew Granville

"Masalah ini mengingatkan kita bahwa ada batasan mutlak dalam matematika yang tak tergantung dari kecanggihan pengguna atau teknologi yang digunakan."

Manjul Bhargava

"Pendekatan baru ini membuka peluang untuk kombinasi metode yang bisa memperluas cakupan hasil dan mungkin menyelesaikan masalah-masalah lain yang selama ini sulit ditangani."

Prediksi Kami

Dengan teknik baru yang ditemukan, para matematikawan kemungkinan akan mampu mengeksplorasi dan memahami lebih dalam batas ketidakputusan dalam berbagai sistem bilangan dan mungkin memicu terobosan dalam area matematika lainnya seperti teori bilangan dan komputasi teoretis.