Courtesy of QuantaMagazine

Penemuan Kardinal Tak Terhingga Baru Mengguncang Dunia Matematika Modern

Mengeksplorasi dan memahami sifat kardinal besar baru dalam teori himpunan yang berpotensi mengubah pandangan tentang struktur alam semesta matematika dan hierarki tak terhingga.

20 Jun 2025, 07.00 WIB

47 dibaca

Ikhtisar 15 Detik

Konsep tak terhingga dalam matematika memiliki banyak bentuk dan ukuran yang berbeda.
Penemuan kardinal baru dapat mengubah pemahaman kita tentang struktur dan hierarki dalam teori himpunan.
Ada kemungkinan bahwa semesta matematika jauh lebih kompleks daripada yang dapat kita gambarkan dengan model saat ini.

Laplandia, Finlandia - Para matematikawan telah lama mempelajari konsep tak hingga, yang ternyata memiliki berbagai ukuran dan hierarki yang kompleks. Dari hasil karya Georg Cantor pada abad ke-19, kita mengetahui bahwa beberapa jenis tak hingga lebih besar dari yang lain. Banyak matematikawan setuju menggunakan asumsi dasar teori himpunan ZFC untuk menulis semua pembuktian matematika, meskipun sistem ini tidak lengkap seperti yang dibuktikan Kurt Gödel.

Hugh Woodin adalah salah satu matematikawan terkemuka yang berusaha memahami alam semesta matematika secara menyeluruh dengan membuat model yang lengkap bernama Ultimate L. Model ini berasumsi hierarki kardinal yang tertata rapi dan bisa dijabarkan secara jelas. Namun, dalam beberapa waktu terakhir, muncul temuan baru yang mengguncang asumsi ini.

Juan Aguilera bersama dengan rekan-rekannya Joan Bagaria dan Philipp Lücke menemukan dua jenis kardinal baru yang disebut kardinal exacting dan ultraexacting. Kardinal ini ternyata tidak melanggar aturan dasar ZFC, termasuk aksioma pilihan, tapi memiliki sifat aneh yang menyebabkan hierarki kardinal menjadi berantakan ketika mereka digabungkan dengan kardinal lain yang lebih kecil.

Temuan ini menimbulkan kemungkinan bahwa alam semesta matematika sangat kompleks dan kacau, dengan bagian-bagian yang tidak dapat dideskripsikan dengan cara yang sudah dikenali sebelumnya. Beberapa ahli menyambut baik temuan ini sebagai kemajuan, sementara yang lain masih menunggu bukti yang lebih kuat sebelum menerima bahwa hierarki dikenal selama ini bisa digantikan.

Meskipun begitu, perkembangan ini membuka babak baru bagi matematika set teori, memungkinkan para peneliti untuk mengeksplorasi lagi batas-batas tak hingga dengan cara baru. Para ahli berharap ini akan memperluas pemahaman kita tentang kebenaran matematika meskipun jalannya penuh dengan ketidakpastian dan tantangan.

Sumber: https://www.quantamagazine.org/is-mathematics-mostly-chaos-or-mostly-order-20250620/

Pertanyaan Terkait

Apa yang dibahas oleh Juan Aguilera dan rekan-rekannya di pertemuan tersebut?

Juan Aguilera dan rekan-rekannya membahas dua konsep baru mengenai tak terhingga dalam teori himpunan yang dapat mengguncang pemahaman tentang hirarki kardinal.

Apa yang dimaksud dengan kardinal besar dalam teori himpunan?

Kardinal besar adalah jenis tak terhingga yang memiliki sifat unik dan kompleksitas yang lebih tinggi, dan membentuk hierarki dalam teori himpunan.

Mengapa Hugh Woodin menganggap HOD penting dalam pemodelan semesta matematika?

Hugh Woodin percaya bahwa HOD (hereditarily ordinal definable) adalah penting karena dapat membantu dalam membangun model yang lebih akurat dan mendekati semesta matematika yang sebenarnya.

Apa yang ditemukan oleh Aguilera, Bagaria, dan Lücke mengenai kardinal baru?

Aguilera, Bagaria, dan Lücke menemukan dua jenis kardinal baru yang menunjukkan perilaku aneh dan dapat 'meledak' ketika dikombinasikan dengan kardinal yang lebih kecil.

Bagaimana pandangan matematikawan lain terhadap temuan baru tentang kardinal ini?

Matematikawan lain bersikap skeptis terhadap temuan baru ini, dengan beberapa percaya bahwa hal itu tidak membuktikan HOD salah, sedangkan yang lain melihatnya sebagai peluang untuk mengeksplorasi lebih jauh.